大台指期貨報酬分配

財務理論常常提醒讀者們,報酬率的分佈具有高狹峰及厚尾的特性,這篇試著驗證大台指期貨之報酬率分佈是否具這樣特性,及展示使用常態分配與廣義誤差分配 (generalized error distribution) 配適報酬率之情況,其中廣義誤差分配可以模擬高狹峰的特徵。

對數報酬:

本篇文章使用的是對數報酬,在假設連續時間的情況下,報酬率為連續利率,故使用對數報酬。

r_t = log( S_t / S_{t-1} )

S_t : 第 t 期商品價格

r_t : 第 t 期報酬率

廣義誤差分配 ( generalized error distribution ):

廣義誤差分配增加了 \nu 形狀參數,使得模型可以模擬高狹峰及厚尾情況,廣義誤差分配 (generalized error distribution) 機率密度函數如下:

 

\displaystyle f(x) = \frac{ \nu}{2 \sigma \Gamma( \frac{1}{ \nu})} e^{-( \frac{|x- \mu|} { \sigma} )^{ \nu}}

 

其中 \nu 為形狀參數,當 \nu = 2 時為常態分配。接著觀察不同 \nu 情況下機率分佈的情況。可以觀察到當 \nu 越小峰度越高的情況,並且具有厚尾情況。

ged_nu

實際資料配適

這裡使用 2001/01/02 至 2016/07/21 大台指期貨分鐘資料,使用每分鐘收盤價計算對數報酬,累積分佈如下,明顯可以觀察高狹峰情況。

return_hist

接著配適常態分配與廣義誤差分配,常態分配參數估計使用最大概似估計量 \hat{ \mu} = \sum_{i = 1}^n x_i ,  \hat{ \sigma} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^n (x_j- \hat{ \mu} )^2。配適結果為紅色的線。廣義誤差分配的最大概似估計量並沒有封閉解,故使用近似最大概似估計法,計算最大概似估計量的數值解。配適結果為藍色的線。可以發現廣義誤差分配配適的情況更好,較接近真實資料。

return_hist_fit

結論

根據大台指期貨所算出的對數報酬,的確如財務理論所說的具高狹峰與厚尾情況,所以如果想使用數學統計模型估計大台指期貨價格的話,建議使用廣義誤差分配模型作為模型假設較為精準。

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